Fisika Instrumentasi

Hukum Bernoulli

Di sini dibahas konsep hukum Bernoulli dan aplikasinya dalam pengukuran tekanan dan kecepatan. Penjelasan konsep berdasarkan pada persamaan kekekalan energi. Jumlah energi tidak hilang dan tidak bertambah, yang terjadi hanya berubah bentuk.

Konsep

Dalam fluida dinamik, hukum Bernoulli menyatakan bahwa kenaikan kevepatan fluida terjadi bersamaan dengan penurunan tekanan statik atau penurunan energi potensial. Ini sebenarnya mengikuti hukum kekekalan energi. Kita perhatikan sistem seperti gambar di bawah:

Gambar 1. Aliran fluida di dalam pipa dengan ketinggian dan diameter berbeda

Gambar di atas mengilustrasikan aliran fluida di dalam pipa dengan ketinggian dan diameter pipa berbeda antara titik A dan titik B. Dengan demikian akan ada perbedaan kondisi: kecepatan, ketinggian dan tekanan. Akan tetapi karena antara titik A dan titik B tidak terjadi pelepasan energi ke lingkungan sekitar (adiabatik), maka energi total di titik A sama dengan energi total di titik B meskipun kondisi keduanya berbeda.

energi total dalam aliran fluida terdiri dari tiga jenis: energi kinetik, energi potensial dan energi dalam (energi tekanan). Jadi jumlah ketiga jenis energi di titik A sama dengan jumlah ketiga jenis energi di titik B:

${\left(PV+\frac{1}{2}m{v}^2+mgh\right)}_A={\left(PV+\frac{1}{2}m{v}^2+mgh\right)}_B$

${\left(PV+\frac{1}{2}\rho V{v}^2+\rho Vgh\right)}_A={\left(PV+\frac{1}{2}\rho V{v}^2+\rho Vgh\right)}_B$

${\left(P\frac{m}{\rho }+\frac{1}{2}m{v}^2+mgh\right)}_A={\left(P\frac{m}{\rho }+\frac{1}{2}m{v}^2+mgh\right)}_B$

${\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_A={\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_B$

Persamaan di atas merupakan beberapa bentuk persamaan Bernoulli, di mana

$P=tekanan$

$V=Volume bagian$

$\rho =massa jenis fluida$

$v=kecepatan$

$g=gravitasi bumi$

$h=ketinggian$

Jika kita eliminasi volume V dari persamaan Bernoulli bentuk kedua di atas, maka diperoleh persamaan energi per satuan volume yang dapat kita katakan sebagai persamaan tekanan:

${\left(P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\right)}_A={\left(P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\right)}_B$

Dalam suatu sistem, ada perubahan bentuk energi agar terjadi energi total sama: energi tekanan di titik A bisa berubah menjadi energi kinetik atau menjadi energi potensial atau keduanya di B. Demikian pula energi kinetik di A bisa berubah menjadi energi tekanan atau energi potensial atau keduanya di B. Hal ini berlaku juga bagi energi potensial yang bisa berubah menjadi energi tekanan dan energi kinetik. Jika kita ambil satu bentuk energi ke satu bentuk energi yang lain, maka dapat diturunkan persamaan kesetaraan energi. Hubungan antara energi tekanan dengan energi kinetik (konversi) berlaku:

$P=\frac{1}{2}\rho v^2\to v=\sqrt{\frac{2P}{\rho }}$

Persamaan tersebut menyatakan besarnya tekanan yang diubah menjadi kecepatan (kinetik). Persamaan hubungan antara energi tekanan dengan energi kinetik disebut persamaan tekanan dinamik.

Kemudian, hubungan antara energi tekanan dengan energi potensial:

$P=\rho gh\to h=\frac{P}{\rho g}$

Persamaan hubungan antara energi tekanan dengan energi potensial disebut persamaan tekanan (hidro) statik. Selanjutnya, jika energi tekanan berubah menjadi energi potensial dan kinetik, berlaku:

$P=\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh$

Dengan kata lain, tekanan total terdiri dari tekanan dinamik dan tekanan statik.

Berikutnya, hubungan antara energi kinetik dengan energi potensial:

$\frac{1}{2}\rho v^2=\rho gh$

$\frac{1}{2}{v}^2=gh\to v^2=2gh\to v=\sqrt{2gh}\to h=\frac{v^2}{2g}$

Dari hubungan energi potensial ke yang lainnya, kita dapat memperoleh persamaan:

$h=\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}$

yang disebut sebagai persamaan head (besaran panjang). Persamaan head ini disebut persamaan energi per satuan berat karena kita bisa mendapatkan persaman head dari persamaan Bernoulli dibagi berat mg:

${\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_A={\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_B$

Persamaan head ini sama bentuknya seperti persamaan Bernoulli yang ke empat di atas.

Aplikasi Persamaan Bernoulli dalam pengukuran tekanan dan kecepatan

Di atas digambarkan sistem ideal, diasumsikan tidak ada gesekan antara fluida yang mengalir dengan pipa. Kenyataannya pastilah ada meskipun kecil. Jika hal ini kita perhitungkan, persamaan Bernoulli akan menjadi (dengan persamaan head):

${\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_A=h_l+{\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_B$

$\frac{P_A}{\rho g}+\frac{v_A^2}{2g}+h_A=h_l+\frac{P_B}{\rho g}+\frac{v_B^2}{2g}+h_B$

di mana $h_l=$ head loss, head yang menjadi panas yang terbuang ke lingkungan akibat gesekan antara fluida dengan pipa. Jika diameter pipa dan ketinggian pipa di titik A sama dengan di titik B, maka berlaku:

$\frac{P_A}{\rho g}=h_l+\frac{P_B}{\rho g}$

$h_l=\frac{P_A}{\rho g}-\frac{P_B}{\rho g}=\frac{P_A-P_B}{\rho g}$

$P_A-P_B={\rho gh}_l$

Pada dasarnya besarnya head $h_l$ bergantung pada faktor gesekan dan kecepatan. Artinya, head loss ini berkaitan dengan head kecepatan:

$h_l=f.\frac{v^2}{2g}=\frac{P_A-P_B}{\rho g}\to f=\frac{2\left(P_A-P_B\right)}{\rho v^2}$

Pada saat kalibrasi, kita tentukan dulu nilai f (tanpa satuan) dari persamaan di atas: diberi aliran fluida dengan kecepatan yang sudah diketahui, diukur tekanan di A dan di B. Kemudian hitung nilai f. Pada saat pengukuran, kita hitung nilai kecepatan v dengan persamaan berikut:

$f=\frac{2\left(P_A-P_B\right)}{\rho v^2}\to v^2=\frac{2\left(P_A-P_B\right)}{\rho f}\to v=\sqrt{\frac{2\left(P_A-P_B\right)}{\rho f}}$

Konsep Head

Seperti disinggung di atas, persamaan Bernoulli bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan head. Head adalah energi per satuan berat. Dengan demikian, satuan head sama dengan satuan panjang:

${\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_A={\left(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h\right)}_B$

$\frac{P_A}{\rho g}+\frac{v_A^2}{2g}+h_A=h_l+\frac{P_B}{\rho g}+\frac{v_B^2}{2g}+h_B$

Persamaan di atas bisa dikatakan: jumah head total di titik A sama dengan jumlah head total di titik B. Head total terdiri dari head tekanan ($\frac{P}{\rho g}$), head kinetik ($\frac{v^2}{2g}$) dan head potensial (h). Head tekanan menyatakan bahwa tekanan P akan menyebabkan ketinggian kolom fluida sebesar $\frac{P}{\rho g}$ atau dapat dikonversi ke head ketinggian sebesar $\frac{P}{\rho g}$. Demikian pula head kinetik bahwa kecepatan v akan (dikonversi) menjadi head ketinggian sebesar $\frac{v^2}{2g}$. Dengan demikian persamaan di atas dapat dituliskan sebaga:

$h_{pA}+h_{vA}+h_{zA}=h_{pB}+h_{vB}+h_{zB}$

di mana

h_p = head tekanan

h_v = head kinetik

h_Z = head potensial

Contoh Soal

• Gambar di bawah menunjukkan pipa beraliran minyak $(\rho =\mathrm{0,8} kg/l)$. Alat ukur B menunjukkan tekanan 70 cm Hg (g). Berapa cm Hg (g) tekanan di alat ukur A jika sepanjang titik A dan B ada head gesekan sebesar 0,2 meter?

Jwb.

Untuk kasus ini, ada perubahan energi tekanan menjadi energi potensial, karena head kinetik sama (ukuran pipa sama). Ada perubahan head tekanan menjadi head potensial:

$h_{pA}+h_{vA}+h_{zA}=\mathrm{0,2}+h_{pB}+h_{vB}+h_{zB}$

$h_{pA}+h_{zA}={\mathrm{0,2}+h}_{pB}+h_{zB}$

$h_{pA}-h_{pB}=\mathrm{0,2}+h_{zB}-h_{zA}=\mathrm{0,2}+3-\mathrm{0,5}=\mathrm{2,7} m minyak$

Head 2,7 m minyak setara dengan 270/(13,6/0,8) cm Hg = 15.9 cm Hg. Jadi

$h_{pA}-h_{pB}=\mathrm{15,9} cm Hg\to h_{PA}-70=\mathrm{15,9}\to h_{PA}=\mathrm{85,9} cm Hg\left(g\right)$

Artinya, tekanan di A akan menyebabkan kolom air raksa naik setinggi 85,9 cm (g).

Tugas

Pada saat kalibrasi, faktor gesekan pipa dengan orifice adalah 0,3. Tekanan di titik 1 (P₁) adalah 2 atm(g) dan tekanan di titik 2 adalah 1,6 atm(g). Hitung berapa m/s (meter per detik) aliran fluidanya.

Anda diminta untuk mengukur kecepatan aliran minyak di dalam pipa dengan cara seperti pada gambar di samping. Tentukan berapa v (dalam m/s) jika alat ukur tekanan di sebelah kiri 50 cm Hg (g) dan di sebelah kanan 53 cm Hg (g)?