Konsep Integral

Contoh Soal Dan Pembahasan

 

Sebuah mobil melaju dengan kecepatan tetap 100 km/jam di jalan tol, sejak jam 10.00 sampai dengan jam 10.15. Berapa km jarak ditempuh mobil selama kurun waktu tersebut?

Jwb:

Mobil melaju dengan kecepatan tetap selama 15 menit = 0,25 jam.

Berarti jarak yang ditempuh mobil tersebut: V.t = 100 km/jam . 0,25 jam = 25 km.

 

Sekarang kita kaji mobil yang melaju dengan kecepatan tidak tetap. Perhatikan karta di bawah (Gambar 1):

Gambar 1. Kecepatan mobil rata-rata tiap rentang

Gambar di atas menunjukkan kecepatan rata-rata mobil tiap rentang. Rentang memiliki durasi yang sama yaitu 1 menit. Pada rentang ke 1, kecepatan rata-ratanya 3 km/jam, rentang ke 2 10 km/jam, dan seterusnya sampai rentang ke 12, seperti pada tabel di bawah (Tabel 1):

Tabel 1. Kecapatan rerata mobil tiap-tiap menit

Rentang

kecepatan rerata (km/jam)

Jarak tempuh tiap rentang (km)

1

3

0.05

2

10

0.17

3

20

0.33

4

35

0.58

5

40

0.67

6

45

0.75

7

50

0.83

8

45

0.75

9

30

0.50

10

20

0.33

11

10

0.17

12

2

0.03

Untuk menghitung jarak tempuh total, kita hitung jarak tempuh setiap rentang. Karena selang waktu setiap rentang adalah satu menit, maka setiap rentang jarak tempuhnya adalah besranya kecepatan dikali waktu satu menit. Tentu saja karena kecepatannya dalam km/jam, maka harus disesuaikan. Caranya, kita bisa konversi rentang dalam jam (1 menit = 1/60 jam) atau bisa juga dengan konversi kecepan per menit. Jika kita pilih yang pertama, rentang 1 menit = 1/60 jam, maka jarak tempuh rentang petama adalah kecepatan rerata (3 km/jam) x 1/60 jam = 3/60 = 0,05 km. Dengan demikian, hasil perhitungan jarak tempuh untuk tiap rentang adalah seperti pada kolom paling kanan.

Perhatikan luas arsir biru tiap rentang. Kita ambil rentang pertama, tinggi batang grafik menunjukkan kecepatan dan lebar batang menunjukkan rentang waktu. Sedangkan jarak tempuh tiap rentang merupakan perkalian kecepatan (tinggi batang) dengan rentang waktu (lebar batang). Artinya, jarak tempuh tiap rentang merupakan luas batang (tinggi x lebar) batang. Secara keseluruhan, total jarak tempuh adalah jumlah luas total dari tiap batang. Secara matematik dapat dituliskan:

X=i=112Vi.t 

di siniX = jarak tempuh total

Vi = kecepatan di rentang i.

Dt = durasi tiap rentang.

Jika durasi tiap rentang diperkecil, maka karta tercebut akan tampak makin halus seperti gambar di bawah:

Gambar 2. Kecepatan rerata tiap rentang yang diperhalus

Jika karta Gambar 2 di atas diperhalus lagi rentangnya, maka persamaan Pers 1 dapat berbentuk integral:

X=V.dt

Tugas 1.

Sekarang hitung jumlah muatan listrik total yang mengalir di dalam suatu konduktor (kabel) dengan arus i yang tidak tetap tetapi naik dan melengkung seperti pada kurva merah pada Gambar 3 dalam 9 rentang. Gunakan pendekatan sigma untuk menghitung luas persegi panjang (batang). Durasi tiap rentang adalah 1 detik. Persamaan untuk q dan i seperti pada Pers 2 dan dapat didekati dengan pendekatan sigma seperti pada Pers 1, dengan menukar X dengan Q dan V dengan i:

Q=i.dt

Q=k=19ik.t 

Perlu dicatat bahwa jumlah Q total yang sebenarnya adalah luas bidang di bawah kurva merah. Demikian pula jumlah DQ di tiap rentang adalah luas bidang di bawah kurva merah dengan lebar sebesar lebar rentang tersebut.

Gambar 3. Kurva Arus listrik

Rentang

Arus rerata (miliAmpere)

1

15

2

27

3

34

4

39

5

43

6

46

7

49

8

50

9

50

 

 



Last modified: Wednesday, 14 October 2020, 5:43 AM